5. ΚΒΑΝΤΟμηχανική

5.    ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

5.1. Η κβαντική μηχανική

Η κβαντική μηχανική αναπτύχθηκε από το 1925 και μετά, ως εξέλιξη της θεωρίας των κβάντα (βλ. κεφ. 1.7) του Μαξ Πλανκ, κυρίως από τους Γερμανούς επιστήμονες Χάιζεμπεργκ (θεωρία της μηχανικής πινάκων, αρχή απροσδιοριστίας) και Σρέντινγκερ (θεωρία της κυματομηχανικής), αλλά και από τον Δανό Μπορ (1913, κβαντικό πρότυπο ατόμου), τον Ντε Μπρολί, τον Μπορν, τον Ντιράκ (1928, σχετικιστική θεωρία κβάντα) κ.ά. Η νέα θεωρία περιγράφει την συχνά παράξενη και αινιγματική συμπεριφορά όλης της ύλης και της ενέργειας στο επίπεδο των ατόμων αλλά και σε μικρότερο επίπεδο, υποατομικό. Για παράδειγμα, η κβαντομηχανική ισχυρίζεται ότι ένα άτομο μπορεί να βρίσκεται ταυτόχρονα σε δύο διαφορετικές θέσεις ή ότι ένα στοιχειώδες σωματίδιο μπορεί να εμφανισθεί αυθόρμητα από το πουθενά και πολύ σύντομα να εξαφανισθεί πάλι (βλ. και κεφ. 2.17).

Η κβαντική μηχανική θεωρείται ακόμα πιο σημαντική ανακάλυψη από την σχετικότητα, αναφορικά με το πόσο έχει επηρεάσει την καθημερινή μας ζωή. Χάρη σε αυτή την θεωρία προέκυψαν αργότερα τα λέιζερ, τα ολοκληρωμένα κυκλώματα, οι ψηφιακοί δίσκοι κλπ. Κανείς, όμως, δεν καταλαβαίνει πραγματικά τι μας εξηγεί, με μεγάλη ακρίβεια, σχετικά με τον κόσμο του απειροστά μικρού. Προβλέπει με απίστευτη ακρίβεια την συμπεριφορά των κύριων δομικών λίθων της ύλης, όχι μόνο των ατόμων, αλλά και των σωματιδίων που τα συγκροτούν, ηλεκτρονίων, πρωτονίων και νετρονίων, καθώς και των φωτονίων και πολλών άλλων υποατομικών σωματιδίων. Έτσι κατανοήσαμε, με μια θεώρηση εντελώς αντίθετη προς την κοινή λογική, τον τρόπο με τον οποίο τα κβαντικά σωματίδια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και συνδέονται προκειμένου να σχηματίσουν τον κόσμο γύρω μας.

Για την πλήρη περιγραφή, όμως, της φύσης δεν είναι δυνατόν να χρησιμοποιούμε και τις δύο θεωρίες, της κλασικής φυσικής και της κβαντικής μηχανικής, καθώς αυτό θα έθετε σε αμφισβήτηση την ισχύ και των δύο: αφού καθεμιά ισχύει στην περιοχή των φαινομένων για την ερμηνεία των οποίων δημιουργήθηκε, δεν μπορεί να εφαρμόζεται σε άλλες περιοχές. Επιπλέον, κάθε νεότερη θεωρία πρέπει να μην έρχεται σε αντίφαση με την παλαιά, αλλά να την εμπεριέχει σαν μια οριακή περίπτωση, όπως λ.χ. συμβαίνει με την θεωρία της σχετικότητας από την οποία προκύπτουν οι σχέσεις της νευτώνειας μηχανικής όταν οι ταχύτητες είναι μικρές σε σχέση με αυτήν του φωτός. Έτσι, οι κβαντικοί νόμοι συμπίπτουν με αυτούς της κλασικής φυσικής για μεγάλους κβαντικούς αριθμούς μέσω της αρχής της αντιστοιχίας:

lim h --> 0 (κβαντομηχανικής) --> κλασική φυσική, [όπου h η σταθερά του Πλανκ].

Άρα, για την περιγραφή της φύσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο η κβαντική θεωρία, γιατί περιέχει την κλασική, καθώς αυτή προκύπτει από την πρώτη ως οριακή της περίπτωση.

5.2. Η «ερμηνεία της Κοπεγχάγης»

Μέσα από τις διάφορες ερμηνείες της θεώρησης της κβαντομηχανικής είχε επικρατήσει κατά τον 20ο αι. η λεγόμενη «ερμηνεία της Κοπεγχάγης» με βασικές της ιδέες: α) την σχέση αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ, β) την συμπληρωματικότητα, γ) την πιθανότητα και δ) την διαταραχή του παρατηρουμένου συστήματος από τον παρατηρητή. Υποστηρίζει ότι δεν πρέπει να αναλωνόμαστε πολύ στο να κατανοήσουμε τι συμβαίνει στην ατομική κλίμακα, η οποία απέχει πολύ από τον καθημερινό μας κόσμο. Σημασία έχει ότι αυτή λειτουργεί και πως τα μαθηματικά συμφωνούν θαυμάσια με όσα βλέπουμε γύρω μας, ενώ αφήνουμε για τους φιλοσόφους τον στοχασμό σχετικά με το βαθύτερο νόημα όλων αυτών των πραγμάτων.

Η κβαντική μηχανική μας λέει μόνο τι να περιμένουμε από τα αποτελέσματα των παρατηρήσεών μας, ενώ πρέπει να προσφύγουμε σε κάτι άλλο εάν επιμένουμε να μάθουμε τι συμβαίνει όταν δεν παρατηρούμε τα σωματίδια. Ενώ μπορούμε να μετρήσουμε τις ιδιότητες ενός ηλεκτρονίου, όπως ταχύτητα ή ενέργεια σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, όταν δεν το παρατηρούμε, δεν είμαστε βέβαιοι για την συμπεριφορά του, καθώς μπορεί να εξαφανισθεί από το σημείο παρατήρησης και να επανεμφανισθεί αυθόρμητα σε άλλο σημείο, το οποίο κανονικά θα έπρεπε να του είναι απρόσιτο. Έχει την δυνατότητα να υπάρχει ταυτόχρονα σε δύο θέσεις, να διανοίγει μια σήραγγα και να διέρχεται μέσα από αδιαπέραστα εμπόδια, να κινείται ταυτόχρονα προς δύο διαφορετικές κατευθύνσεις και να διαθέτει ταυτόχρονα αρκετές αλληλοσυγκρουόμενες ιδιότητες. Και έπειτα, όταν αρχίσουμε να το παρατηρούμε πάλι, να αρχίσει να συμπεριφέρεται ομαλά, λες και τίποτα το περίεργο δεν συνέβη, ενώ εμείς γνωρίζουμε από τα αποτελέσματα των παρατηρήσεών μας ότι το ηλεκτρόνιο έκανε κάτι πράγματι πολύ παράξενο όσο δεν το κοιτούσαμε!

5.3. Η «ερμηνεία των πολλών κόσμων» - τα  παράλληλα σύμπαντα

Γι’ αυτό μια εναλλακτική ερμηνεία, γνωστή ως «ερμηνεία των πολλών κόσμων», η οποία είχε προταθεί από τον Αμερικανό φυσικό Έβερετ στην δεκαετία του 1950 αλλά εκτιμήθηκε μόνον πρόσφατα από τους κοσμολόγους ως η μόνη βιώσιμη ερμηνεία, υποστηρίζει ότι, όταν οπουδήποτε στο σύμπαν ένα κβαντικό σωματίδιο βρίσκεται προ του διλήμματος δύο ή πολλών επιλογών, ολόκληρο το σύμπαν διασπάται σε ένα πλήθος από παράλληλα σύμπαντα ίσο με τον αριθμό επιλογών. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από σύμπαντα που διαφέρουν λίγο έως πολύ από το δικό μας, ανάλογα με το χρονικό διάστημα  που έχει περάσει από τότε που διαχωρίσθηκαν από το δικό μας σύμπαν, ενώ καθένα από αυτά είναι εξίσου πραγματικό με το δικό μας!

5.4. Η «ερμηνεία του πολυσύμπαντος»

Για την δυνατότητα, όμως, του ταξιδιού στον χρόνο ο φυσικός Ντόιτς ανέπτυξε μια εκδοχή αυτής της ερμηνείας, την «ερμηνεία του πολυσύμπαντος», σύμφωνα με την οποία το σύμπαν δεν διαιρείται σε πολλά αντίγραφα του εαυτού του την στιγμή της επιλογής, αλλά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από παράλληλα σύμπαντα. Την στιγμή, όμως, της επιλογής, ακολουθούμε μια ειδική διαδρομή, όπως το τρένο σε μια πολύπλοκη διασταύρωση, και έτσι το μέλλον αλλά και το παρελθόν είναι ανοικτό σε εμάς, αφού διαθέτουμε πολλές επιλογές. Ο χωρόχρονός μας είναι ένα από τα άπειρα παρελθόντα και μέλλοντα.

5.5. Η μη τοπικότητα

Σε αντίθεση με την σχολή της Κοπεγχάγης, ο Ντέιβιντ Μπομ, ερμηνεύει την κβαντομηχανική με τέτοιο τρόπο, ώστε θεωρεί ότι ολόκληρο το σύμπαν είναι διασυνδεδεμένο κατά τέτοιον τρόπο ώστε κάτι που συμβαίνει σε ένα άτομο επάνω στη Γη να επηρεάζει ακαριαία κάποιο άλλο άτομο σε έναν άλλο γαλαξία. Αυτό το είδος συσχέτισης μεταξύ όλων των σωματιδίων στο σύμπαν ονομάζεται μη τοπικότητα ή δράση από απόσταση και απαιτεί κάποιο είδος σήματος ταχύτερο του φωτός, πράγμα βέβαια που παραβιάζει την ειδική θεωρία της σχετικότητας.

5.6. Η «γέφυρα Αϊνστάιν-Ρόζεν»

Όταν ο Σβάρτσιλντ συνειδητοποίησε πρώτος ότι η γενική σχετικότητα προέβλεπε την ύπαρξη της μαύρης οπής, ο Αϊνστάιν μαζί τον Ρόζεν επεχείρησαν το 1935 να αποδείξουν το αντίθετο και κατάφεραν να διατυπώσουν μια θεωρία με τέτοια λύση ώστε να μην περιέχει ένα σημείο στο οποίο σταματούσε ο χώρος και ο χρόνος. Όμως,  με τον τρόπο αυτό έδειξαν ότι οι ιδιομορφίες Σβάρτσιλντ γίνονταν μια γέφυρα, γνωστή ως γέφυρα Αϊνστάιν-Ρόζεν, που συνέδεε το σύμπαν μας με ένα παράλληλο σύμπαν (όχι όμως τέτοιο που θα μπορούσε να είχε αποκοπεί από το δικό μας)!

Αλλά, η γέφυρα αυτή δεν είναι κατάλληλη για μετάβαση σε άλλο σύμπαν, επειδή μετά την είσοδό μας σε μια μαύρη οπή, αν επιζήσουμε περνώντας από τον ορίζοντα γεγονότων, δεν μπορούμε να επιστρέψουμε με τίποτε. Έπειτα, για να βγούμε από την άλλη πλευρά, η μαύρη οπή θα πρέπει να συνδέεται με μια λευκή οπή. Αυτή, όμως, περιέχει έναν αντι-ορίζοντα γεγονότων, ο οποίος επιτρέπει την μονόδρομη κίνηση προς τα έξω αλλά ποτέ προς τα μέσα, ενώ λόγω της αστάθειάς του μέσα σε δευτερόλεπτα μετά τον σχηματισμό του ξαναγίνεται κανονικός ορίζοντας. Η εξαιρετική αστάθεια της γέφυρας αυτής επιτρέπει την σύνδεση μόνο για ένα κλάσμα του δευτερολέπτου προτού αποκοπεί εντελώς, ενώ ούτε το φως δεν προλαβαίνει να την διασχίσει.

5.7. Η κβαντική «σκουληκότρυπα»

Ο φυσικός Ουίλερ έδειξε με μια εργασία του, το 1955, ότι μια σήραγγα μπορεί να καμπυλώνεται έτσι ώστε να συνδέει δύο διαφορετικές περιοχές του δικού μας σύμπαντος. Μελετώντας την δομή του χωρόχρονου στην ελάχιστη δυνατή κλίμακα διαπίστωσε ότι αυτή η μικροσκοπική, κβαντική σκουληκότρυπα παρέχει μια εναλλακτική διαδρομή μεταξύ των δύο στομίων της μέσω μιας μεγαλύτερης διάστασης, ενώ ο χωρόχρονος στο επίπεδο αυτό γίνεται αφρώδης και είναι δυνατός ο τυχαίος σχηματισμός κάθε παράξενου σχήματος και δομής.

5.8. Η διέλευση μέσα από μια μαύρη οπή τύπου Kerr

Είδαμε πως η ιδιομορφία στο κέντρο μιας μαύρης οπής τύπου Kerr (βλ. κεφ. 2.13.β) δεν είναι σημείο, όπως στην μαύρη τρύπα τύπου Σβάρτσιλντ, αλλά δακτύλιος με σχεδόν μηδενικό πάχος και συνεπώς σχεδόν άπειρη πυκνότητα. Το κέντρο του είναι σχεδόν κενός χώρος, γεγονός που κάνει δυνατή την διέλευση από εκεί ενός ανθρώπου ή διαστημοπλοίου. Διαθέτει και έναν δεύτερο εσωτερικό ορίζοντα, τον ορίζοντα Cauchy, που περιβάλλει την ιδιομορφία και σηματοδοτεί το όριο στο εσωτερικό του οποίου δεν είναι πλέον ορατό το φως που, προερχόμενο από το εξωτερικό σύμπαν, εισέρχεται μέσα από τον εξωτερικό ορίζοντα γεγονότων, καμπυλωμένο και εστιασμένο όμως από την βαρύτητα.

Παράλληλα, ο χρόνος στον ορίζοντα αυτό τρέχει με άπειρη ταχύτητα, ενώ ο δικός μας επιβραδύνεται, ώστε όταν τον περάσουμε να έχουμε δει κυριολεκτικά ολόκληρο το μέλλον του σύμπαντος να εμφανίζεται μπροστά μας. Όμως, το σύνολο του φωτός εκείνη την στιγμή θα πρέπει να φθάσει ολόκληρο στην διάρκεια ενός κλάσματος δευτερολέπτου, οπότε θα συμπιεσθεί προς το μπλε άκρο του φάσματος, δηλαδή προς υψηλότερες συχνότητες, με αποτέλεσμα την τελική έκρηξη ακτινοβολίας άπειρης ενέργειας, που θα κατακαύσει τον εισερχόμενο άνθρωπο, αν βέβαια έχει σωθεί προηγουμένως από τις βαρυτικές παλιρροϊκές δυνάμεις. Μέσα από την οπή αυτού του είδους είναι σαν να διερχόμαστε μέσα από καθρέφτη εγκαταλείποντας για πάντα τον χωρόχρονό μας. Η δακτυλιοειδής ιδιομορφία της ονομάζεται χρονοειδής και σηματοδοτεί το άκρο του χώρου, δηλαδή το πώς μπορεί να χρησιμεύσει ως ένα παράθυρο όρασης έξω από το σύμπαν μας (ενώ η σημειακή ονομάζεται χωροειδής και σηματοδοτεί το άκρο του χρόνου, είτε στην αρχή  του, όπως στην ιδιομορφία της Μ. Έκρηξης, είτε στο τέλος του, όπως στην μαύρη οπή). Για να αποφύγουμε αυτούς δύο καταστροφικούς ορίζοντές της, θα πρέπει η μαύρη οπή τύπου Kerr να περιστρέφεται τόσο γρήγορα, ώστε να συμπέσουν οι ορίζοντές της και να οδηγηθούν σε αμοιβαία αναίρεση και εξαφάνιση, αποκαλύπτοντας μια γυμνή ιδιομορφία.

5.9. Η διαπερατή σκουληκότρυπα

Ο φυσικός Κιπ Θορν, από το 1985 και μετά, μελέτησε και σχεδίασε μια νέα μορφή, την διαπερατή σκουληκότρυπα, η οποία είναι ευσταθής, σταθερά ανοικτή, δεν προέρχεται από μαύρες οπές, άρα χωρίς ιδιομορφίες ή βαρυτική παλιρροϊκή δύναμη, χωρίς ορίζοντες γεγονότων στα άκρα της ώστε να επιτρέπει το αμφίδρομο ταξίδι σε δύο σημεία του σύμπαντος, και με τέτοιο μέγεθος που να περνά διαστημόπλοιο. Μια τέτοια σκουληκότρυπα τελικά είναι θεωρητικά εφικτή, αλλά αγνοούμε πώς θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί, π.χ. από την μεγέθυνση μιας κβαντικής σκουληκότρυπας. Για να παραμείνει, όμως, ανοικτή για αρκετό διάστημα ώστε να προλάβει κάποιος να περάσει, ανακάλυψε ότι απαιτείται εξωτερική βοήθεια και ως μόνη λύση πρότεινε να περιέχει αυτή η σκουληκότρυπα μια παράξενη εξωτική μορφή ύλης (όχι αντιύλης) με αρνητική μάζα! Μια αρχή προς αυτή την κατεύθυνση είναι το φαινόμενο που ανακάλυψε το 1948 ο Ολλανδός Κασιμίρ, σύμφωνα με το οποίο μπορούμε να μεταχειριστούμε προσεκτικά το κβαντικό κενό ώστε να μας παρέχει μόνιμα μια ελάχιστη ποσότητα από την ενέργειά του.

5.10. Η ταξινόμηση των σκουληκότρυπων

Ο Αμερικανός Ματ Βίσερ έχει ταξινομήσει τις σκουληκότρυπες σε όλα τα είδη και τα γένη τους. Έτσι οι λορεντζιανές σκουληκότρυπες, βάσει του τρόπου με τον οποίο στρεβλώνεται ο χωρόχρονος ώστε να οδηγήσει στον σχηματισμό τους, διαιρούνται σε μόνιμες και μεταβατικές, αυτές σε δια-συμπαντικές και ενδο-συμπαντικές, ενώ και αυτές με την σειρά τους σε μακροσκοπικές ή διαπερατές και μικροσκοπικές ή κβαντικές.

5.11. Τα «σύμπαντα-βρέφη»

Με τις κβαντικές σκουληκότρυπες του Ουίλερ επιτρέπεται η σύνδεση με ένα παράλληλο σύμπαν. Ο Χώκινγκ τα ονομάζει σύμπαντα-βρέφη, επειδή είναι σαν φυσαλίδες που σχηματίζονται από τον κβαντικό αφρό στο σύμπαν μας, και συνδέονται με αυτό μέσω μιας σκουληκότρυπας που μοιάζει με ομφάλιο λώρο. Ένα τέτοιο σύμπαν-βρέφος μπορεί έπειτα να διαστέλλεται στο εσωτερικό ενός υπερχώρου πολλών διαστάσεων και, αν αποκοπεί η σύνδεση της σκουληκότρυπας, να αποχωρισθεί για πάντα από το δικό μας σύμπαν. Κάτω από αυτή την λογική θα μπορούσε ίσως και το σύμπαν μας να έχει προκύψει από τον κβαντικό αφρό ενός ακόμη προγενέστερου σύμπαντος. Επιπλέον, στην περίπτωση της Μ. Σύνθλιψης του σύμπαντός μας, αν αυτό αποδεικνυόταν κλειστό, θα ήταν δυνατόν να την αποφύγει κανείς μεταφερόμενος με μια σκουληκότρυπα σε ένα άλλο νεαρότερο σύμπαν με τις ίδιες ιδιότητες προς το δικό μας.

5.12. Ο χρονικός βρόγχος ή χρονομηχανή

Από την θεωρία της σχετικότητας προβλέπεται και η λεγόμενη κλειστή χρονοειδής καμπύλη είναι μια κυκλική διαδρομή ή τροχιά μέσα στο κουβάρι του χωρόχρονου, στην οποία ο ίδιος ο χρόνος έχει κυρτωθεί σχηματίζοντας κύκλο! Έτσι, σε μια τέτοια αφύσικη διαδρομή, ή αλλιώς χρονικό βρόγχο (τον οποίο πρώτος προσδιόρισε το 1937 ο Βαν Στόκουμ) ή χρονομηχανή, για ένα μέρος του ταξιδιού θα πρέπει να έχουμε επιστρέψει στο παρελθόν. Στο τέλος του κύκλου θα πρέπει να επιστρέψουμε στον ίδιο χώρο και στον ίδιο χρόνο εκκίνησης, αλλά επίσης, αν θέλαμε και κάτι προς όφελός μας, λίγο πριν από την στιγμή εκκίνησης, αλλά όχι πολύ ώστε να προκαλέσουμε παραμόρφωση στον βρόγχο με επίπτωση την μόνιμη μεταφορά στο παρελθόν.

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α

Οι θεμελιώδεις αρχές της Κβαντομηχανικής

Α. Κυματο-σωματιδιακός δυϊσμός - του φωτός

Οι δύο όψεις μιας ενιαίας αρχής – αδύνατη συνύπαρξη για την κλασική φυσική, δηλ. τα πάντα στην φύση έχουν διπλή υφή, έννοιες ασυμβίβαστες και αμοιβαία αποκλειόμενες:

σωματίδιο [εντοπισμένο, αδιαίρετο] – κύμα [εκτεταμένο, διαιρετό]

1. ακτινοβολία μέλανος σώματος:

α. νόμος παγκοσμιότητας φάσματος (όλα τα σώματα με την ίδια θερμοκρασία εκπέμπουν την ίδια θερμική ακτινοβολία ανεξάρτητα από την υλική τους σύσταση)

β. νόμος Stefan-Boltzmann: Ι = σ * Τ⁴

γ. νόμος μετατόπισης Wien: λ_max ≈ 0,3/T

δ. ασυμπτωτικός νόμος Wien: J ≈ f³ * e^-αf/T

Γενικός εμπειρικός τύπος Planck:

J(f,T) = 2πh/c² * f³/e^hf/kT – 1  → κβάντωση  h = 6,22 * 10^-34 J*sec

(Η ενέργεια της ΗΜ ακτινοβολίας είναι κβαντωμένη)

2. φωτοηλεκτρικό φαινόμενο:

α. η ένταση του ΦΗ ρεύματος αυξάνεται ανάλογα με την ένταση της φωτεινής δέσμης

β. το ΦΗ φαινόμενο εμφανίζεται μόνον όταν η f > f_min του υλικού της καθόδου

γ. η κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από την συχνότητα όχι από την ένταση της φωτεινής δέσμης

δ. το ΦΗ ρεύμα εμφανίζεται σχεδόν ταυτόχρονα με την πρόσπτωση της δέσμης στην φωτοκάθοδο (1 nsec)

Υπόθεση φωτονίων του Einstein:  E = h * f

(χωρίς την κβάντωση της ΗΜ ακτινοβολίας τα ηλεκτρόνια θα απορροφούσαν συνεχώς ενέργεια από το φως οποιασδήποτε συχνότητας με αναπόφευκτο τέλος την πλήρη διάλυση της ύλης, άρα η ύπαρξη σταθερών δομών της ύλης θα ήταν απολύτως αδύνατη)

Τα φωτόνια έχουν όχι μόνο ενέργεια αλλά και ορμή: p = h/λ

3. φαινόμενο Compton:

(σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας πάνω σε φορτισμένα σωματίδια), δηλ. σύγκρουση υψίσυχνων  φωτονίων (ακτίνων Χ) με ελεύθερα ηλεκτρόνια, που συνοδεύεται από αύξηση του μήκους κύματός της όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία σκέδασης θ: Δλ = h/mc * (1–cosθ)

Β. Κυματο-σωματιδιακός δυϊσμός - της ύλης

1. μυστήριο των ατομικών φασμάτων:

εμπειρικός τύπος Balmer (για το υδρογόνο): f = R(1/m² – 1/n²) → για κάθε άτομο: f = f_m – f_n  (όπου m,n ακέραιοι, R: σταθερά Rydberg)

Συνδυαστική αρχή: f = f_m – f_n , δηλ. το άθροισμα ή η διαφορά δύο παρατηρούμενων συχνοτήτων θα είναι επίσης μια παρατηρούμενη συχνότητα (κάθε φασματική γραμμή μπορεί να γραφεί ως διαφορά δύο φασματικών όρων).

2. μυστήριο της ατομικής σταθερότητας:

πείραμα Rutherford (σκέδαση σωματιδίων άλφα μερικών MeV από τα άτομα φύλλου χρυσού)

α) ατομικό μοντέλο Thomsom (διάχυτο ζελέ πρωτονίων νετρονίων μαζί με ηλεκτρόνια) – απορρίφθηκε,

β) ατομικό μοντέλο Rutherford (πλανητικό) [πρόβλημα στην κλασική φυσική: τα ηλεκτρόνια είναι φορτισμένα σωματίδια, άρα η κίνησή τους συνοδεύεται αναγκαστικά από εκπομπή ΗΜ ακτινοβολίας, με αποτέλεσμα να χάνουν διαρκώς ενέργεια και στο τέλος να έχουν αναπόφευκτη πτώση πάνω στον πυρήνα]

Α. Μικροσύμπαν: άτομα σε διαρκή θερμική κίνηση με δισεκατομμύρια αμοιβαίες κρούσεις ανά δευτερόλεπτο και με ταχύτητες πολλών χιλιομέτρων ανά δευτερόλεπτο, αλλά εντούτοις παραμένει αμετάβλητη η χημική τους συμπεριφορά και το φάσμα τους! Ευσταθές αμετάβλητο κατασκεύασμα από ηλεκτρόνια – πυρήνα – κενό! Η ύλη είναι τρομακτικά συμπαγής και ασυμπίεστη από άτομα 99,99% κούφια!

Β. μυστήριο της ταυτότητας των ομοίων ατόμων:

(όλα τα άτομα ενός στοιχείου είναι ακριβώς ίδια οπουδήποτε στο σύμπαν, ενώ στα πλανητικά συστήματα οι πλανήτες διαφέρουν)

3. θεωρία Bohr (1913, έπειτα από μια απίστευτα απλή σκέψη):

Τα άτομα έχουν ένα καθορισμένο μέγεθος (περίπου 1 Ångstrom), το άτομο του υδρογόνου επίσης (περίπου 0,5 Å) και με σταθερή τροχιά του ηλεκτρονίου του, άρα το άτομο του υδρογόνου έχει σχέση μόνο με την μάζα m, το φορτίο e και την ταχύτητα του φωτός c, καθώς και με τον συντελεστή ђ (= h/2π = 1,05*10^-34 J*sec):

α ≈ ђ²/m*e² ≈ 0,5 Å

α) 1^η συνθήκη Bohr: E_n = -h*f_n                      (όπου f_n: ακολουθία φασματικών όρων)

(οι επιτρεπόμενες ενέργειες των ατόμων ορίζουν μια στάσιμη κατάσταση, όπου το άτομο δεν ακτινοβολεί παρά μόνο κατά την μετάβασή του από ανώτερη σε κατώτερη ενεργειακή στάθμη, με συχνότητα εκπεμπομένων φωτονίων: hf = E_n – E_m)

β) 2^η συνθήκη Bohr: l = n*ђ

(επιτρέπονται μόνον εκείνες οι κυκλικές τροχιές για τις οποίες η στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ђ, π.χ. για n=1: ατομική ακτίνα Bohr α₀ = α_Β = r₁ = ђ²/me² = 0,5Å, ταχύτητα ηλεκτρονίου u₁ = (e²/ ђe)c = e²/ ђc = 1/137)

Σταθερά λεπτής υφής: α₀ = (1/α)*(h/mc), μήκος κύματος Compton ηλεκτρονίου λ_c = h/mc, λ_c = α*α₀, ακτίνα ηλεκτρονίου r₀ = e²/mc² = α*ђ/mc = α* λc = α²*α₀ = 2,25*10^-13 cm.

Κβάντωση = σταθερότητα

Ενέργεια θερμικών κρούσεων των ατόμων: kT δωματίου ≈ 1/40 eV (για Τ= 20^οC= 293^οK), που είναι αμελητέα μπρος στο ενεργειακό φάσμα των 10,2 eV που χωρίζει τις δύο στάθμες στο άτομο του υδρογόνου.

Το άτομο στην βασική του στάθμη είναι ευσταθές, γιατί δεν μπορεί να πάει ούτε προς πιο κάτω ούτε πιο πάνω λόγω του μεγάλου ενεργειακού χάσματος της βασικής από την πρώτη διεγερμένη στάθμη. Έτσι η ακτινοβολία (με την κβάντωση του ΗΜ πεδίου) δεν μπορεί να αποσυνθέτει διαρκώς τις μικροσκοπικές δομές της ύλης, η οποία χωρίς σταθερή φυσικοχημική  συμπεριφορά δεν θα άφηνε το φαινόμενο της ζωής να υπάρξει. Σταθερά άτομα και μόρια μπορούν να υπάρξουν μόνο αν αποκλειστούν οι βαθμιαίες και συνεχείς αλλαγές στην κατάστασή τους, δηλ. αν υπάρχει ένα διάκριτο σύνολο από τέτοιες καταστάσεις. Κβάντωση = ατομική σταθερότητα

Ο αδύνατος κρίκος της θεωρίας του Μπορ ήταν η 2^η συνθήκη με τις κβαντωμένες τροχιές (που είναι κλασική έννοια) για την περιγραφή των επιτρεπόμενων ενεργειακών καταστάσεων.

4. Υπόθεση de Broglie (των υλικών κυμάτων)

(1923, με το σκεπτικό: η κίνηση του ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα να έχει κυματικό χαρακτήρα)

Όλα τα φυσικά σωματίδια έχουν (παράλληλα με την σωματιδιακή) και κυματική συμπεριφορά. Οι σχέσεις είναι ίδιες με εκείνες για το φως, αλλά λυμένες  ως προς f, λ, αφού το κύμα είναι τώρα η παράγωγη ιδιότητα:

f = E/h , λ = h/p.

Συνθήκη κβάντωσης του Bohr: ℓ = n*ђ (η περιφέρεια του ηλεκτρικού στάσιμου κύματος είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος de Broglie) βγαίνει σωστή, επειδή απαιτείται να ταιριάζει ένας ακέραιος αριθμός κυμάτων πάνω σε μια στάσιμη τροχιά.

Επιβεβαίωση: πείραμα Davisson-Germer (1927) (η σκέδαση ηλεκτρονίων πάνω σε νικέλιο έδειξε συγκεκριμένη γωνία ανάκλασης που εξαρτιόταν μόνο από την ενέργειά τους)

Γ. Η εξίσωση Schrodinger

Αρχή κυματο-σωματιδιακού δυϊσμού: τα πάντα στην φύση έχουν διπλή υφή: σωματίδιο και κύμα ταυτόχρονα.

E = h*f , p = h/λ , f = E/h , λ = h/p       (ђ = h/2π , ω: κυκλική συχνότητα, k: κυματαριθμός, ω = 2π/Τ , k = 2π/λ)

→ Ε = ђ*ω , p = ђ*k

Το ημιτονοειδές κύμα: u(x,t) = A*sin(2πx/λ – 2πft) = A*sin(2πx/λ -2πt/T) → u(x,t) = A*sin(kx – ωt)

Ζήτημα:

κυματική περιγραφή φωτός → εξίσωση Maxwell

σωματιδιακή περιγραφή φωτός → (?) → κβάντωση ΗΜ θεωρίας → Κβαντική Ηλεκτροδυναμική (1951-1953)

-

σωματιδιακή περιγραφή ύλης → εξισώσεις Νewton

κυματική περιγραφή ύλης → (?) → κβάντωση Νευτώνειας μηχανικής → Κβαντομηχανική σωματιδίων (1927), με φυσική ερμηνεία: την στατιστική (ή πιθανοκρατική) ερμηνεία, δηλ. την ερμηνεία του κύματος ως κύματος πιθανότητας, δηλ. ως ενός πολύ αφηρημένου μαθηματικού κύματος, που δεν αντιπροσωπεύει μια μετρήσιμη φυσική διαταραχή, αλλά μόνο την πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο στη μία ή στην άλλη περιοχή του χώρου.

(Σημ. το πρόβλημα της ατομικής δομής προκάλεσε την πτώση της κλασικής μηχανικής)

1. εξίσωση Schrodinger:

u(x,t) = A*sin(kx – ωt) = e^i(kx–ωt) → ψ(x,t) = e^{i(px–Et)/ђ}

Απαιτήσεις:

α) γραμμική και ομογενής συνάρτηση (η επαλληλία δύο λύσεων θα είναι πάλι λύση της εξίσωσης)

β) με σταθερούς συντελεστές (για V=0 όλα τα σημεία του χώρου [αρχή ομοιογένειας χώρου] και του χρόνου [αρχή ομοιογένειας χρόνου] να είναι ισοδύναμα & οι συντελεστές να είναι ανεξάρτητοι από τις μεταβλητές Ε, p, αλλά εξαρτημένοι μόνο από m, h που είναι αμετάβλητα)

γ) να αναπαράγει την σωστή σχέση ενέργειας-ορμής: Ε = p²/2m.

Επίλυση:

1) Λόγω του (α) θα ισχύει επαλληλία επίπεδων κυμάτων με διάφορες ορμές:

ψ(x,t) = e^{i(px–Et)/ђ} → ∂ψ/∂t = -(iE/ђ)*ψ , ∂ψ/∂t = (ip/ђ)*ψ → Êψ = Εψ , þψ = pψ

(αν Ê = iђ*∂/∂t , þ = ιђ*∂/∂x), δηλ. η δράση των τελεστών ξαναδίνει την ίδια συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με Ε και p αντίστοιχα.

2) Λόγω του (γ) θα πρέπει: Êψ = (þ²/2m)*ψ → iђ*(∂ψ/∂t) = -(ђ²/2m)*(∂²ψ/∂x²) ή iђ*(∂ψ/∂t) = Ĥ_οψ [ελεύθερη εξίσωση Schrodinger],

όπου τελεστής ελεύθερης Χαμιλτονιανής: Η = Η(x,p) = p²/2m + V(x),

δηλ. ολική ενέργεια = κινητική = δυναμική ενέργεια {αν V=0, τότε H_o=p²/2m → Ĥ_o = þ²/2m = (1/2m)*(-iђ∂²/∂x²)}

Με γενίκευση για ένα σωματίδιο μέσα σε εξωτερικό δυναμικό V(x):

Ĥ = þ²/2m + V(x) = -(ђ²/2m)*(∂²/∂x²) + V(x) → iђ*(∂ψ/∂t) = -(ђ²/2m)*(∂²ψ/∂x²) + V(x)ψ

Για τρισδιάστατη κίνηση μέσα σε δυναμικό V(r):

Ĥ = -(ђ²/2m)*Δ² + V(r) → iђ*(∂ψ/∂t) = -(ђ²/2m) *Δ²*ψ + V(r)ψ                     (όπου Δ: Λαπλασιανή)

2. στατιστική ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης:

Από τον Μ. Born (1926): είναι «κύμα πιθανότητας», (παίρνει αναγκαστικά μιγαδικές τιμές, δεν είναι καθαρά πραγματική ποτέ, αφού έχει μιγαδικούς συντελεστές, άρα δεν μπορεί να περιγράψει μια μετρήσιμη φυσική διαταραχή),

δηλ. η πυκνότητα πιθανότητας είναι: P(x) = |ψ(x)|² = ψ*(x)ψ(x)           [δεν χρειάζεται η χρονική μεταβλητή t, γιατί εννοούμε ένα στιγμιότυπο της ψ, π.χ. για t=t₀

P(x)dx = |ψ(x)|²dx → ολική πιθανότητα: _-∞∫^+∞ P(x)dx = _-∞∫^+∞ |ψ(x)|²dx = 1          [συνθήκη κανονικοποίη­σης],

οπότε:  _-∞∫^+∞|ψ(x)|² < ∞ , δηλ. πρέπει το ολοκλήρωμα να συγκλίνει, άρα η ψ(x) είναι τετραγωνικά ολοκληρώ­σιμη (αν την πολλαπλασιάσουμε με κατάλληλο συντελεστή κανονικοποίησης, η συνολική πιθανότητα θα είναι 1), επομένως πρέπει: ψ(-∞) = ψ(+∞) = 0 [δηλ. να μηδενίζεται στο ∞ πιο γρήγορα από το 1/√x].

Με την κυματοσυνάρτηση αυτή το σωματίδιο δεν διαχέεται σε όλο τον όγκο του κύματος, αλλά το κύμα περιγράφει απλώς την πιθανότητα να το βρούμε εδώ ή εκεί, όμως ποτέ εδώ κι εκεί ταυτόχρονα.

Σημ. 1: |z|² = zz = x² + y² = ρe^–iθ  * ρe^iθ = ρ² → |z| = ρ

Σημ. 2: το ∫ |ψ(x,t)|²dx είναι ανεξάρτητο του χρόνου, ενώ το ∫ |ψ(x,t)|dx δεν είναι ανεξάρτητο από αυτόν.

3. για τυχόν φυσικό μέγεθος Α θα ισχύει:

α) ο τύπος της μέσης τιμής:  <Α> = _-∞∫^+∞ ψ*(Âψ)dx → <Α²> = _-∞∫^+∞ ψ*(²ψ)dx

β) η αβεβαιότητα ΔΑ:  (ΔΑ)² = <Α²> – < Α>² → … → (Δx)(Δp) ≥ ђ/2

4. λύση της χρονοεξαρτημένης εξίσωσης Schrodinger – χωρισμός μεταβλητών:

ψ(x,t) = ψ(x)T(t)  ,  iђ*(∂ψ/∂t) = Ĥψ      → iђψ(x)Τ(t) = (Ηψ)Τ → iђΤ(t) = Ηψ/ψ = Ε  (κοινή σταθερά χωρισμού), όπου Τ(t) = e^-iEt/ђ

άρα: iђΤ = ΕΤ → Ηψ = Εψ  (είναι πλέον διαφορικές εξισώσεις, και όχι μερικές διαφορικές εξισώσεις)

→ -(ђ²/2m)*(d²/dx²) + V(x)ψ(x) = Eψ(x) → -(ђ²/2m)*ψ΄΄ + V(x)ψ = Eψ →

ψ΄΄ + (2m/ђ²)(E – V(x))ψ = 0    [χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger]

Θεώρημα 1^ο: οι λύσεις της εξίσωσης αντιπροσωπεύουν φυσικές καταστάσεις με απόλυτα καθορισμένη ενέργεια ίση με  ιδιοτιμή Ε.

Θεώρημα 2^ο: οι μόνες δυνατές τιμές από μετρήσεις της ενέργειας μπορούν να είναι  οι ιδιοτιμές Ε_n, ενώ η πιθανότητα εμφάνισης  της Ε_n είναι: P_n = |c_n|² , όπου c_n: συντελεστής της αντίστοιχης ιδιοσυνάρτησης.

Θεώρημα 3^ο: η εξίσωση διαθέτει λύσεις που μηδενίζονται στα άκρα ενός πεπερασμένου διαστήματος μόνο για μια διάκριτη ακολουθία τιμών της ενέργειας σωματιδίου (κάθε τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση ψ(x) θα πρέπει να γραφεί ως μια επαλληλία ιδιοσυναρτήσεων του τελεστή ενός φυσικού μεγέθους, δηλ. να έχει ερμιτιανότητα, πληρότητα του συστήματος ιδιοσυναρτήσεων).

Θεώρημα 4^ο: κάθε ερμιτιανός τελεστής έχει πραγματικές ιδιοτιμές: ∫ ψ*(Αφ)dx = ∫ (Aψ)*φdx → (ψ,Αφ) = (Αψ, φ) και πλήρες σύστημα ορθογωνίων ιδιοσυναρτήσεων: (ψ,φ) = ∫ ψ*(x)φ(x)dx = 0.

Η εξίσωση Schrodinger (όπου x = x, p = -iђ*d/dx) αποτελεί τον βασικό δυναμικό νόμο της Κβαντομηχανικής που έρχεται να αντικαταστήσει την εξίσωση του Newton της κλασικής μηχανικής

Δ. Αρχή της αβεβαιότητας ή απροσδιοριστίας του Heisenberg

(η μεγαλύτερη ανακάλυψη του 20ου αι., είναι μια καθαρά μαθηματική ανισότητα)

1. εξίσωση θέσης-ορμής: Δx*Δp ≥ ђ/2

προσεγγιστική ισότητα: Δx*Δp ≈ ђ

(Δx)² = 2> – ² , (Δp)² = 2> –

² → (Δp)² = ђ² ∫ |ψ΄(x)|²dx ,   Δx = 1/√(2λ) , Δp = h*√(λ/2)

Δp ≈ ђ/Δx ≈ ђ/α            ,           = k = 2>/2m = (Δp)²/2m ≈ ђ²/2mα² ,

άρα: ένα σωματίδιο που η θέση του είναι γνωστή με πολύ μεγάλη ακρίβεια (α μικρό) θα έχει μια τεράστια διασπορά στην ορμή και την κινητική ενέργεια, ενώ όσο στενότερη είναι η «φυλακή» ενός σωματιδίου τόσο ζωηρότερο γίνεται ή αλλιώς: θα παρουσιάζει αντίσταση στον εντοπισμό του, π.χ. ο πυρήνας είναι γίγαντας ενέργειας, επειδή είναι νάνος μεγέθους.

2. αρχή αβεβαιότητας χρόνου-ενέργειας:

ΔΕ*Δt = ђ       

(όπου χρόνος είναι η διάρκεια που χρειάζεται για να γίνει αισθητή σε μας μια μεταβολή στις ιδιότητες ενός σωματιδίου)

3. η αρχή αβεβαιότητας είναι μη ανιχνεύσιμη στον μακρόκοσμο (όπως και η κυματική φύση της ύλης)

4. διερεύνηση:

Οι βεβαιότητες θέσης και ορμής είναι αδύνατον να μηδενιστούν ταυτόχρονα, δηλ. για την ίδια φυσική κατάσταση.

Η ταυτόχρονη και ακριβής γνώση των είναι αδύνατη, αφού τα μεγέθη είναι ασυμβίβαστα: [Α,Β] ≠ 0

Θεώρημα: δύο κβαντομηχανικά μεγέθη Α και Β είναι συμβιβαστά, αν οι τελεστές τους μετατίθενται,

δηλ. [Α,Β] = ΑΒ – ΒΑ = 0

Γενικευμένη σχέση: ΔΑ*ΔΒ = ½ |<[Α,Β]>|      

π.χ. ΔxΔp ≥ ½|<|x,p|>| = ½ |h|>| = ½ |i,h| = h/2 ,

από το διάνυσμα της στροφορμής |ℓ_x,ℓ_y| = ihℓ_z έχουμε [ℓ_i, ℓ²] = 0 , i = x,y,z  (όπου ℓ² = ℓ_x²+ℓ_y²+ℓ_z²), οπότε μπορούμε να ξέρουμε ταυτόχρονα μόνο το μέτρο του και μία από τις συνιστώσες του.

Σημείωση:

α) σύζευξη σπιν-τροχιάς ηλεκτρονίου → λεπτή υφή (τύπος του Sommerfeld)

β) μαγνητική αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-πρωτονίου → υπέρλεπτη υφή πάνω στην θεμελιώδη στάθμη του υδρογόνου [για τις ιδιοκαταστάσεις του ατόμου (όπου F: ολικό σπιν ηλεκτρονίου-πρωτονίου), αν F=0 ευσταθής, αν F=1 ασταθής ιδιοκατάσταση, ενώ για την μετάβαση από F=1 σε F=0 έχουμε: μήκος κύματος λ ≈ 21 cm και χρόνος ζωής τ > 10⁶ yr !]